préimage

Voir aussi : preimage

Français

Dérivé de image, avec le préfixe pré-.

Singulier	Pluriel
préimage	préimages
\pʁe.i.maʒ\

préimage \pʁe.i.maʒ\ féminin

(Mathématiques) Pour une application $f$ $f$ définie d’un ensemble $X$ $X$ à un ensemble $Y$ $Y$ ( $f:X\mapsto Y$ $f:X\mapsto Y$ ) et un sous-ensemble $B$ $B$ de l’ensemble de destination $Y$ $Y$ ( $B\subseteq Y$ $B\subseteq Y$ ), la préimage de $B$ $B$ , $f^{-1}(B)$ $f^{-1}(B)$ , est l’ensemble des éléments de $X$ $X$ envoyés dans $B$ $B$ par $f$ $f$ :
$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$ $f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$ .
- Soit la fonction $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;f(x\in \mathbb {R} )=x^{2}$ .
  La préimage de l’intervalle $[+4;+9]$ est le double intervalle $[-3;-2]\cup [+2;+3]$ .
  La préimage de l’intervalle $[-9;+9]$ est l’intervalle $[-3;+3]$ .
  La préimage de l’intervalle $[-9;-1]$ est l’ensemble vide $\emptyset$ (vu que $x^{2}$ est toujours positif).
(En particulier) (Mathématiques) Pour un seul élément $y$ $y$ de l’ensemble de destination, la préimage de $y\in Y$ $y\in Y$ est définie par : $f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}$ $f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}$ , c’est-à-dire l’ensemble des antécédents de $y$ $y$ .
- Soit la fonction $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;f(x\in \mathbb {R} )=x^{2}$ .
  La préimage de +9 est $\{-3;+3\}$ .
  La préimage de 0 est $\{0\}$ .
  La préimage de -4 est l’ensemble vide $\emptyset$ (vu que $x^{2}$ est toujours positif).

La préimage de $B$ est en quelque sorte son « ensemble antécédent » (l’ensemble des antécédents des éléments de $B$ ).
$f^{-1}(B)$ est également une application.
L’expression de la seconde définition avec le formalisme de la première est triviale ; il suffit d'écrire : $B=\{y\}$ .
Si l’application $f$ est bijective, la préimage de chaque $y$ devient un singleton contenant son seul et unique antécédent → voir bijection réciproque.